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一.地图投影(map projection)的基本概念
地图投影是将地球椭球面上的点投影到平面上的数学方法。其实质就是建立地球椭球面上点与平面上对应点之间的函数关系。
其数学公式为:X=f1(ϕ,λ)X=f1(ϕ,λ)Y=f2(ϕ,λ)Y=f2(ϕ,λ)当给定不同的具体条件时,就可以得到不同种类的投影。
下面是投影的简单示意图:
二.投影变形(Projection distortion)
长度变形(distance distortion)
即长度比与1之差值,vμ=μ−1vμ=μ−1所谓长度比(distance scale)是指:地面上微分线段投影后的长度ds’与其相应的实地长度ds之比,
μ=ds′/dsμ=ds′/ds极值长度比:一点上不同方向上的长度比是不同的,其中最大值和最小值,称为极值长度比,用a和b来表示。
主方向:极值长度比的方向。
经线和纬线长度比:沿经线和纬线方向的长度比,用m和n表示。
任意一点与经线成α角方向上的长度比μαμα的计算公式:
式中,M为子午圈曲率半径,r为纬圈半径,E,F,G称为一阶基本量(或高斯系数)
经线长度比:m=√EMm=EM纬线长度比:n=√Grn=Gr面积变形(area distortion)即面积比与1之差,Vp=p−1Vp=p−1所谓面积比是指:
地面上微分面积投影后的大小dF'与其相应的实地面积dF之比。
角度变形(angular distortion)
地面上某一角度投影前角值
ββ与其投影后的角值 β′β′之差,即β−β′β−β′。
投影中,一定点上的角度变形的大小用其最大值来衡量, 即称为该点最大角度变形ωω。sinω/2=(a−b)/(a+b)sinω/2=(a−b)/(a+b)tg(450+ω/4)= (a/b)1/2tg(450+ω/4)=(a/b)1/2其中a,b为该点的极值长度比。 补充知识:变形椭圆(indicatrix ellipse):
地面上的一个无穷小圆(微分圆)投影后一般成为一个微分椭圆,这个微分椭圆称为变形椭圆。
投影后为不同大小的圆形,则该投影为等角投影。
投影后为面积相等而形状不同的椭圆,则该投影为等面积投影。
投影后为面积不相等的椭圆,则该投影为任意投影。如果椭圆的某一半轴与微分圆的半径相等,如a=r,或b=r,则该投影为等距离投影。
下面是几种特殊投影的示例: