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基本概念
定义
设想用一个圆锥套在地球椭球体上,而把地球椭球上经纬网投影到圆锥面上,然后沿着某一条母线(经线)将圆锥面切开而展成平面,就得到圆锥投影。圆锥面和地球椭球体相切称为切圆锥投影,圆锥面和地球椭球相割时称为割圆锥投影。
分类
按圆锥面与地球椭球体的相对位置分 :
正轴圆锥投影
圆锥轴与地球椭球体的旋转轴相一致;
横轴圆锥投影
圆锥轴与地球椭球体的长轴相一致;
斜轴圆锥投影
圆锥轴既不和椭球体的旋转轴重合, 也不与它的长轴相重合。
按变形性质分
等角圆锥投影
正轴等角圆锥投影也称为Lambert正形投影。
等面积圆锥投影
正轴等面积割圆锥投影也称为Albers投影。
任意投影
特例是等距离投影。
正轴圆锥的基本公式
极坐标公式为:ρ=f(ϕ)ρ=f(ϕ)δ=α⋅λδ=α⋅λ其中δδ表示两条经线夹角在平面上的投影。αα表示δδ与λλ的比值,小于1λλ表示地球椭球体上两经线的夹角。直角坐标公式为:x=ρs−ρcosδx=ρs−ρcosδy=ρsinδy=ρsinδ其中ρsρs表示制图区域最低纬线的投影半径
在该投影中,经纬线投影后呈正交,故a、b就是是m、n, 即经纬线方向就是主方向。
正等角圆锥投影
基本公式:
根据等角条件 a=b或 m=n,得:dρ/(Mdϕ)=αρ/rdρ/(Mdϕ)=αρ/rdρ/ρ=αMdϕ/(Ncosϕ)dρ/ρ=αMdϕ/(Ncosϕ)将M,N 公式带入上式,并取积分可得:
ρ=K/Uαρ=K/UαK,αα称为投影常数U=tg(450+ϕ/2)/tge(450+ψ/2)U=tg(450+ϕ/2)/tge(450+ψ/2)sinψ=esinϕsinψ=esinϕ当ϕ=00ϕ=00时,K=ρρ,故K的几何意义是赤道的投影半径
正等角圆锥投影的一般公式如下:
δ=α⋅λδ=α⋅λρ=K/Uαρ=K/UαU=tg(450+ϕ/2)/tge(450+ψ/2)U=tg(450+ϕ/2)/tge(450+ψ/2)sinψ=esinϕsinψ=esinϕe=((a2−b2)/a2)1/2e=((a2−b2)/a2)1/2 x=ρs−ρcosδx=ρs−ρcosδy=ρsinδy=ρsinδm=n=αρ/r=αK/(rUα)m=n=αρ/r=αK/(rUα)p=m2=n2=(αK/(rUα))2p=m2=n2=(αK/(rUα))2ω=0ω=0 投影常数αα,K的确定 方法
单标准纬线正等角圆锥投影:指定制图区域中某一条纬线无长度变形。
双标准纬线正等角圆锥投影:指定制图区域中两条纬线无长度变形。
定域等面积正等角圆锥投影:使制图区域各部分面积变形的总和为零,即制图区域总面积和原来的大小保持不变。
下图分别对应上述123
双标准纬线正等角圆锥投影
经纬线的表象:其经线表现为辐射的直线束,纬线投影成同心圆圆弧。圆锥面与椭球面相割的两条纬线圈,称为标准纬线(
ϕ1,ϕ2ϕ1,ϕ2)。标准纬线的位置:ϕ1≈ϕs+35′ϕ1≈ϕs+35′ϕ2≈ϕN−35′ϕ2≈ϕN−35′ϕsϕs:制图区域最南边的纬度ϕNϕN:制图区域最北边的纬度2013-05-25_164319双标准纬线正等角圆锥投影投影公式α=(lgr2−lgr1)/(lgU1−lgU2)α=(lgr2−lgr1)/(lgU1−lgU2)K=(r1Uα1)/α=(r2Uα2)/αK=(r1U1α)/α=(r2U2α)/α其中: U1=tg(450+ϕ1/2)/tge(450+ψ/2)U1=tg(450+ϕ1/2)/tge(450+ψ/2)sinψ1=esinψ1sinψ1=esinψ1其他的公式同前。
投影变形分析
角度没有变形,即投影前后对应的图形保持相似,故也可称为正形投影;
两条标准纬线上没有任何变形;
等变形线和纬线一致,同一条纬线上的变形处处相等;
在同一经线上,两标准纬线外侧为正变形(长度比>1),而两标准纬线之
为负变形(长度比<1),因此变形较均匀,绝对值也较小;
同一纬线上等经差的线段长度相等,两条纬线间的经线线段长度处处相等。
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我国的1:100万地图采用该投影,为了提高精度,1:100万地图的投影按百万之一地图的纬度划分原则—从赤道00开始,纬差40一幅,从南向北共分成15个投影带,每个投影带单独计算,建立数学基础。由于采用分带投影,每带纬度较小,我国范围内的1:100万地图变形值几乎相等,其长度变形最大不超过0.03%,面积变形约为长度变形的2倍。
圆锥投影的变形分析及应用
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在切圆锥投影中,标准纬线ϕ0ϕ0处的长度比n0=1n0=1,其余纬线长度比均大于1,并向南、北方向增加;在割圆锥投影中,标准纬线ϕ1ϕ2ϕ1ϕ2处长度比n1=n2=1n1=n2=1,变形自标准纬线ϕ1ϕ2ϕ1ϕ2向内和向外增大,在ϕ1ϕ1和ϕ2ϕ2之间n<1,在ϕ1ϕ1和ϕ2ϕ2以外n>1。从变形特点,可得出结论:圆锥投影最适用于中纬度处沿纬线伸展的制图区域。