地球椭球体的基本要素和公式

     1.地球椭球体的基本要素

     地球椭球体的基本要素分为:

     长半径a(赤道半径)

     短半径b(极轴半径)

     扁率

     α

     α

    第一偏心率和第二偏心率e, e’

    数学公式：α=(a−b)/a=1−b/aα=(a−b)/a=1−b/ae2=(a2−b2)/a2=1−b2/a2e2=(a2−b2)/a2=1−b2/a2e′2=(a2−b2)/b2=a2−b2−1e′2=(a2−b2)/b2=a2−b2−1e2=e′2/(1+e′2)e2=e′2/(1+e′2)e′2=e2/(1−e2)e′2=e2/(1−e2)e2≈2αe2≈2α扁率和偏心率反映地球椭球体的扁平程度。

      2.子午圈曲率半径和卯酉圈曲率半径     

     法截面

     设过椭球面上任一点A作法线AL,通过A点法线的平面所截成的截面。

     主法截面

     通过AL两个相互垂直法截面。含有极值意义的两个主法截面是: 子午圈截面(AE1P1EP)   卯酉圈截面(QAW)如图：

      计算公式：M=a(1−e2)/(1−e2sin2ϕ)3/2M=a(1−e2)/(1−e2sin2ϕ)3/2N=a/(1−e2sin2ϕ)1/2N=a/(1−e2sin2ϕ)1/2上述公式中：a：长半径  e：第一偏心率 ϕϕ：纬度当椭球体选定后，a,e为常数；M，N随纬度的变化而变化。

     当ϕ=00ϕ=00时M0=a(1−e2)M0=a(1−e2)N0=aN0=a当ϕ=900ϕ=900时M90=a/(1−e2)1/2M90=a/(1−e2)1/2N90=a/(1−e2)1/2N90=a/(1−e2)1/2

     3.平均曲率半径和纬圈半径

     平均曲率半径（R）

     主法截面曲率半径的几何中数。

     R=(M∗N)1/2=a(1−e2)1/2/(1−e2sin2ϕ)R=(M∗N)1/2=a(1−e2)1/2/(1−e2sin2ϕ)纬圈半径（r）r=Ncosϕ=acosϕ/(1−e2sin2ϕ)1/2r=Ncosϕ=acosϕ/(1−e2sin2ϕ)1/2在赤道上，ϕ=00ϕ=00，r=N=a在两极，ϕ=900ϕ=900，r=04.子午线弧长和纬线弧长子午线弧长:就是椭圆的弧长。¯¯¯¯¯¯¯¯¯AA′=ds=Mdϕ=a(1−e2)dϕ/(1−e2sin2ϕ)3/2AA′¯=ds=Mdϕ=a(1−e2)dϕ/(1−e2sin2ϕ)3/2

     纬线（平行圈）的弧长:

     由于纬线为圆弧，故可应用圆周弧长的公式。

     结论

     同纬差的子午线弧长由赤道向两极逐渐增加,例如纬差   10的子午线弧长在赤道为110576米,而在两极为111695米;

同经差的纬线弧长则由赤道向两极缩短。例如经差10的纬线弧长在赤道处为111321米，在纬度450处缩短为78848米，至两极时则为零。

     5.地球椭球体表面上的梯形面积

     它是指二条子午线和两条纬线所围成的面积。

     AB=CD=MdϕAB=CD=MdϕBC≈AD=rdλ=NcosϕdλBC≈AD=rdλ=NcosϕdλdT=AB⋅BC=M⋅dϕ⋅Ncosϕ⋅dλ